Question

【題目】我們規定：在正方形ABCD中，以正方形的一個頂點A為頂點，且過對角頂點C的拋物線，稱為這個正方形的以A為頂點的對角拋物線．
（1）在平面直角坐標系xOy中，點在軸正半軸上，點C在y軸正半軸上．
①如圖1，正方形OABC的邊長為2，求以O為頂點的對角拋物線；
②如圖2，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為a，其以O為頂點的對角拋物線的解析式為y= x2 ， 求a的值；

（2）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，且點A的坐標為（3，2），正方形的四條對角拋物線在正方形ABCD內分別交于點M、P、N、Q，直接寫出四邊形MPNQ的形狀和四邊形MPNQ的對角線的交點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖1中，設O為頂點的拋物線的解析式為y=ax2，

∵過B（2，2），

∴2=4a，

∴a= ，

∴所求的拋物線的解析式為y= x2．

②如圖2中，設B（a，a）．

則有a= a2，解得a=4或0（舍棄），

∴B（4，4），

∴OA=4，

∴正方形的邊長為4

（2）

解：如圖3中，結論：四邊形MPNQ是菱形，對角線的交點坐標為（5，4）．

理由：∵正方形ABCD的邊長為4，A（3，2），

∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），

∴以A為頂點的對角拋物線為y= （x﹣3）2+2，

以B為頂點的對角拋物線為y= （x﹣7）2+2，

以C為頂點的對角拋物線為y=﹣ （x﹣7）2+6，

以D為頂點的對角拋物線為y=﹣ （x﹣3）2+6，

由 可得M（5，3），

由 可得N（5，5），

由 可得P（3+2 ，4），

由 可得Q（7﹣2 ，4），

∴PM= ，

PN= ，

QN= ，

QM= ，

∴PM=PN=QN=QM，

∴四邊形MPNQ是菱形，對角線的交點坐標為（5，5）

【解析】（1）①設O為頂點的拋物線的解析式為y=ax2 ， 把B（2，2）代入即可解決問題．②設B（a，a）．代入y= x2求出a即可解決問題．（2）如圖3中，結論：四邊形MPNQ是菱形，對角線的交點坐標為（5，4）．求出A、B、C、D的頂點的對角拋物線，利用方程組求出M、P、N、Q的坐標即可解決問題．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．