Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC邊上的垂直平分線交AC于D，交AB于E，延長DE到F，使BF=CE

（1）四邊形BCEF是平行四邊形嗎？說說你的理由．
（2）當∠A等于多少時，四邊形BCEF是菱形，并說出你的理由．
（3）四邊形BCEF可以是正方形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形BCEF是平行四邊形，理由如下：

證明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°

∴FD∥BC，AE=CE，

∴∠A=∠ACE，

∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠ABC=∠BCE，

∴BE=CE=BF，

∴∠BFE=∠BEF

∵FD∥BC，

∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE

∴∠FBE=∠BEC，

∴FB∥EC，

∵CE=BF，

∴四邊形BCEF為平行四邊形；

（2）解：∠A=30°，

證明：∵∠A=30°，

∴∠ABC=60°且BE=CE，

∴△BCE為等邊三角形，

∴BC=CE，

由（1）可知四邊形BCEF為平行四邊形，

∴四邊形BCEF為菱形；

（3）解：不可以，

因為∠BCE始終是銳角，所以四邊形BCEF不可能是正方形．

【解析】（1）根據已知，先證明FD∥BC得出∠BEF=∠ABC，再根據線段垂直平分線的性質推出∠A=∠ACE，根據等教的余角相等得出∠ABC=∠BCE，證得BE=CE=BF，得出∠BFE=∠BEF，然后證明FB∥EC，即可得出結論。
（2）四邊形BCEF是平行四邊形，要證明它是菱形，只需證明一組鄰邊相等，已征得BE=CE，若BC=CE，則BE=BC=CE，即得△BCE為等邊三角形，因此∠A=30°。
（3）根據題意可知0°＜∠BCE＜90°，因此四邊形BCEF不可能是正方形。
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質和平行四邊形的判定是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．