Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是CD，BC的中點，且AM⊥CD，AN⊥BC。

（1）求證：∠BAD=2∠MAN；

（2）連接BD，若∠MAN=70°，∠DBC=40°，求∠ADC。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）50°

【解析】

（1）首先連接AC，根據AM⊥CD，AN⊥BC，判斷出AM、AN分別是CD、BC的垂直平分線，得到AC＝AD，AB＝AC，再根據等腰三角形三線合一的性質得到∠DAM=∠CAM，∠BAN=∠CAN，然后根據角的和差即可得出結論；

（2）由∠MAN=70°，得出∠BAD的度數．由四邊形ANCM內角和等于360°，得到∠BCD的度數．在△BCD中，由三角形內角和定理得到∠BDC的度數．在△ABD中，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得出∠ADB的度數，根據角的和差即可得出結論．

（1）如圖，連接AC．

∵M、N分別是CD、BC的中點，且AM⊥CD，AN⊥BC，∴AM、AN分別是CD、BC的垂直平分線，∴AC＝AD，AB＝AC．

∵AM⊥CD，AN⊥BC，∴∠DAM=∠CAM，∠BAN=∠CAN，∴∠DAC+∠BAC=2∠CAM+2∠CAN，∴∠BAD=2∠MAN；

（2）∵∠MAN=70°，∴∠BAD=2∠MAN=140°．

∵AM⊥CD，AN⊥BC，∴∠BCD=180°－∠MAN=180°－70°=110°．

∵∠DBC=40°，∴∠BDC=180°－∠DBC－∠BCD=180°－40°－110°=30°．

∵AB=AC=AD，∴∠ABD=∠ADB．

∵∠BAD=140°，∴∠ABD=∠ADB=20°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=20°+30°=50°．