Question

（2005•紹興）E、F為平行四邊形ABCD的對角線DB上三等分點，連AE并延長交DC于P，連PF并延長交AB于Q，如圖①
（1）在備用圖中，畫出滿足上述條件的圖形，記為圖②，試用刻度尺在圖①、②中量得AQ、BQ的長度，估計AQ、BQ間的關系，并填入下表：（長度單位：cm）

	AQ長度	BQ長度	AQ、BQ間的關系
圖①中
圖②中

由上表可猜測AQ、BQ間的關系是AQ=3QB；
（2）上述（1）中的猜測AQ、BQ間的關系成立嗎？為什么？
（3）若將平行四邊形ABCD改為梯形（AB∥CD）其他條件不變，此時（1）中猜測AQ、BQ間的關系是否成立？（不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）用刻度尺量得AQ、BQ的長度如下表；
（2）經觀察發現QB，AB都與DP相關，通過證明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根據等分點得出相似比，得出QB，AB的關系，再得出AQ、BQ間的關系是AQ=3QB；
（3）同（2）證明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根據等分點得出相似比，得出QB、AB的關系，再得出AQ、BQ間的關系是AQ=3QB．
解答：解：（1）

	AQ長度	BQ長度	AQ、BQ間的關系
圖①中	2.7	0.9	AQ=3BQ
圖②中	3.3	1.1	AQ=3BQ

注：測量數據基本接近上表中的數據，均可得分
猜想：AQ=3QB；

（2）成立
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB
∴△PDF∽△QBF，
∴，
∵E F為BD三等分點
∴，
同理，
∴=4，
∴=3，
即AQ=3BQ；

（3）成立．
點評：本題綜合考查了平行四邊形，梯形的性質，同時考查了等分點在相似三角形求相似比中的應用．