Question

已知，如圖1所示，直線PA與x軸交于點A，與y軸交于點C（0，2），且S_△AOC=4，直線BD與x軸交于點B，與y軸交于點D，直線PA與直線BD交于點P（2，m），點P在第一象限，連接OP．
（1）求點A的坐標；
（2）求直線PA的函數表達式；
（3）求m的值；
（4）若S_△BOP=S_△DOP，請你直接寫出直線BD的函數表達式．

Answer 1

解：（1）∵點C（0，2），S_△AOC=4，
而S_△AOC=AO•OC，
∴AO=4，
∴點A的坐標為（-4，0）；

（2）設直線PA的解析式為y=kx+b，
則有，
解之得，
∴直線PA的解析式為y=x+2；

（3）∵點P（2，m）在直線PA上，
∴m=×2+2，
∴m=3；

（4）解：∵S_△BOP=S_△DOP，△BOP的邊BP上的高和△DOP的邊DP上的高相同，
∴PD=PB，
即P為BD中點，
過P作PM⊥OB于M，PN⊥OD于N，
則PM∥OD，PN∥OB，
∴OM=BM，ON=DN，
∴OD=2PM，OB=2PN，
∵P（2，3），
∴PM=3，PN=2，
∴OD=6，OB=4，
即D（0，6），B（4，0），
設直線BD的解析式是y=kx+b，
則，
解得：k=-，b=6，
∴直線BD的解析式為y=-x+6．
分析：（1）由于點C（0，2），且S_△AOC=4，利用三角形的面積公式可以求出AO的長度，然后就可以求出點A的坐標；
（2）由于直線PA經過A、C，利用待定系數法即可確定直線PA的函數表達式；
（3）由于直線PA與直線BD交于點P（2，m），直接把P（2，m）代入直線PA的解析式中即可求出m的值；
（4）由于S_△BOP=S_△DOP，由此得到P是BD的中點，由此可以確定D的坐標，然后就可以確定直線BD的函數表達式．
點評：此題主要考查了一次函數的圖象和性質，也考查了三角形的面積公式及待定系數法確定函數的解析式，解題時首先利用三角形的面積公式確定點的坐標，然后利用待定系數法確定函數的解析式即可解決問題．