Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經過圓上點D的直線CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）過點A作直線AB的垂線交BD的延長線于點E．且AB=，BD=2．求線段AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接OD，要證明直線CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OD；
（2）首先，在直角△ADB中，利用勾股定理求得AD=1；
然后，利用相似三角形△AED∽△BAD的對應邊成比例知=，則易求AE的長度．
解答：（1）證明：如圖，連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°；
又∵OB=OD，
∴∠2=∠B，
而∠ADC=∠B，
∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴直線CD是⊙O的切線；

（2）解：∵在直角△ADB中，AB=，BD=2，
∴根據勾股定理知，AD==1．
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°．
又∠ADB=90°，
∴△AED∽△BAD，
∴=，即=，
解得，AE=，即線段AE的長度是．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，切線的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．