Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，點E、F分別在邊AD、AB上．

（1）如圖1，若點P與點O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長為2，當∠DOE=15°時，求線段EF的長；

（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，證明：PE=2PF．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.

【解析】

（1）①根據正方形的性質和旋轉的性質即可證得：△AOF≌△DOE根據全等三角形的性質證明；

②作OG⊥AB于G，根據余弦的概念求出OF的長，根據勾股定理求值即可；

（2）首先過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據相似三角形的判定和性質求出PE與PF的數量關系．

（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，

∴∠AOE+∠DOE=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠AOF+∠AOE=90°，

∴∠DOE=∠AOF，

在△AOF和△DOE中，

，

∴△AOF≌△DOE，

∴AF=DE；

②解：過點O作OG⊥AB于G，

∵正方形的邊長為2，

∴OG=BC=，

∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE，

∴∠AOF=15°，

∴∠FOG=45°-15°=30°，

∴OF==2，

∴EF=；

（2）證明：如圖2，過點P作HP⊥BD交AB于點H，

則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，

∴HP=BP，

∵BD=3BP，

∴PD=2BP，

∴PD=2HP，

又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，

∴∠HPF=∠DPE，

又∵∠BHP=∠EDP=45°，

∴△PHF∽△PDE，

∴，

∴PE=2PF．