Question

在△ABC中，D為BC的中點，E為AC上任一點，BE交AD于O，某學生在研究這一問題時，發現了如下事實：
（1）當

AE

AC

=

1

2

=

1

1+1

時，有

AO

AD

=

2

3

=

2

2+1

；
（2）當

AE

AC

=

1

3

=

1

1+2

時，有

AO

AD

=

2

4

=

2

2+2

；
（3）當

AE

AC

=

1

4

=

1

1+3

時，有

AO

AD

=

2

5

=

2

2+3

；
①當

AE

AC

=

1

n+1

時，按照上述的結論，請你猜想用n表示AO/AD的一般性結論（n為正整數）；
②若

AE

AC

=

1

8

，且AD=18，求AO．

Answer 1

分析：①過D作DF∥BE，即求AE：AD，因為當

AE

AC

=

1

n+1

時，可以根據平行線分線段成比例，及線段相互間的關系即可得出．
②利用①中方法得出AE：（AE+2EF）=1：8，進而得出AE：EF=2：7，以及

AO

AD

=

AE

AF

=

2

9

得出答案即可．

解答：解：①過D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D為BC邊的中點，
∴CF=EF=0.5EC．
∵

AE

AC

=

1

n+1

，
∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．
∴AE：EF=2：n．
∴AE：AF=2：（n+2）．
∴

AO

AD

=

2

2+n

；

②過D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D為BC邊的中點，
∴CF=EF=0.5EC．
∵

AE

AC

=

1

8

，
∴AE：（AE+2EF）=1：8，
∴AE：EF=2：7，
∴

AO

AD

=

AE

AF

=

2

9

，
∵AD=18，
∴AO=4．

點評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理性質，根據已知熟練將比例是變形得出是解題關鍵．