Question

如圖，△ABC內接于⊙O，過點B的切線與CA的延長線相交于點E，且∠BEC=90°，點D在OA的延長線上，AO⊥BC，∠ODC=30°．
（1）求證：DC為⊙O的切線．
（2）若CA=6，求DC的長．

Answer 1

（1）連接OC，如圖所示：
∵AO⊥BC，且O為圓心，
∴點A為

BC

的中點，即

AB

=

AC

，
∴∠BCA=∠ABC，
又BE為切線，
∴∠ABE=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC，
∵∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∠ODC=30°，
∴∠OCD=180°-∠AOC-∠ODC=90°，
∴OC⊥CD，
則CD為圓O切線；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴tan∠ODC=tan30°=

OC

CD

，
則CD=

OC

tan30°

=6

3

．