Question

【題目】如圖，在矩形中，，點E是邊上的動點，將矩形沿折疊，點A落在點處，連接.

（1）如圖，求證：；

（2）如圖，若點恰好落在上，求的值；

（3）點E在邊上運動的過程中，的度數是否存在最大值，若存在，求出此時線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析，（2）=，（3）的度數是最大值為90°，此時線段的長=.

【解析】

由折疊知∠AEB=∠A’EB，再利矩形性質可得，結合直角三角形兩銳角互余即可得出結論；
先由矩形性質結合勾股定理求得，由折疊性質用勾股定理建立方程求解即可求出AE的長，進而求出結論；
先判斷出∠A’CB最大時，點在CE上，進而利用三角形的面積求出CE，進而用勾股定理求出DE，即可得出結論．

解：由折疊知∠AEB=∠A’EB，
∴∠AEB==，
四邊形ABCD是矩形，
，
∴== ，
∴=2∠ABE；
四邊形ABCD是矩形，
，，
在中，根據勾股定理得，，
設，
，
由折疊知，，， ，
=BD-=4，
∴∠DA’E=90°，
在中，根據勾股定理得， =16，
，
，
，
在中，；

的度數是存在最大值，
理由：如圖1，過點B作交的延長線于F，

在中，，
越大時，越大，即越大，
當點E在邊AD上運動時，點 與F重合時，BF最大=A’B=AB=6，
∴A’B⊥A’C，
∴ ，
由折疊知，，
點在CE上，如備用圖，

四邊形ABCD是矩形，
，，
根據三角形面積得:=，
∴A’B=AB，
，
在中，根據勾股定理，
．