Question

（2011•營口）已知⊙O的直徑AB=2，過點A的兩條弦AC=

2

，AD=

3

，則∠CBD=

15°或105°（只答對一個給1分）

．

Answer 1

分析：分兩條弦在直徑AB的同側和異側兩種情況討論即可求解．

解答：解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=2，AC=

2

，
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

2

2

，∴∠ABC=45°；
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2，AD=

3

，
∴sin∠ABD=

AD

AB

=

3

2

，∴∠ABD=60°．
分兩種情況：
①當兩條弦AC與AD在直徑AB的同側時，∠CBD=∠ABD-∠ABC=15°；
②當兩條弦AC與AD在直徑AB的異側時，∠CBD=∠ABD+∠ABC=105°．
綜上可知∠CBD=15°或105°．
故答案為15°或105°．

點評：本題考查了解直角三角形及圓周角定理，難度中等，能夠考慮到兩條弦AC、AD與直徑AB的位置關系，從而進行分類討論是解決本題的關鍵．