Question

14．已知：等邊△ABC的邊長為2，點D為平面內一點，且BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，則CD=2或4．

Answer 1

分析 ①根據等腰三角形的性質，可得DE的長，根據正弦函數，可得∠CAD的度數，根據等邊三角形，可得CD的長；
②根據等腰三角形的性質，可得DE的長，根據正弦函數，可得∠EAD的度數，根據角的和差，可得A、C、D在同一條直線上，根據線段的和差，可得答案．

解答 解：如圖1：

由BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，得
AD=AB=AC=2．
由等腰三角形的性質，得
DE=$\sqrt{3}$．
sin∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠DAE=60°，△ACD是等邊三角形，
CD=AC=2；
如圖2：
，
由BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，得
AD=AB=AC=2．
由等邊三角形的性質，得
DE=$\sqrt{3}$，∠DAE=∠BAE．
sin∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠DAE=∠BAE=60°，
AD與AC在同一條直線上，
CD=AC=2；
CD=AD+AC=2+2=4．
故答案為：2或4．

點評 本題考查了三角形的外心，利用等腰三角形的性質得出DE=$\sqrt{3}$，∠DAE=∠BAE是解題關鍵．