Question

AB∥CD，直線a交AB、CD分別于點E、F上，P是直線CD上的一個動點（點P不與F重合），且∠FMP=∠FPM．
（1）如圖（1），當點P在射線FC上移動時，若∠AEF=60°，則∠FPM=

30°

．
（2）如圖（1），當點P在射線FC上移動時，則∠FPM與∠AEF的關系是

∠FPM=

1

2

∠AEF

．
（3）如圖（2），當點P在射線FD上移動時，∠FPM與∠AEF有什么關系？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠MFD的度數，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解即可；
（2）根據（1）的求解整理即可得解；
（3）根據兩直線平行，內錯角相等表示出∠MFD，然后根據三角形的內角和等于180°列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵AB∥CD，∠AEF=60°，
∴∠MFD=∠AEF=60°，
∵∠FMP=∠FPM，
∴在△PFM中，∠MFD=∠FMP+∠FPM=2∠FPM=60°，
解得∠FPM=30°；

（2）同（1），∠AEF=∠MFD=∠FMP+∠FPM=2∠FPM，
∴∠FPM=

1

2

∠AEF；

（3）∠FPM與∠AEF的關系是：∠FPM=90°-

1

2

∠AEF．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠MFD=∠AEF，
∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，
∴∠FMP+∠FPM=180°-∠MFP=180°-∠AEF，
∵∠FMP=∠FPM，
∴∠FMP=

1

2

（180°-∠AEF）=90°-

1

2

∠AEF．

點評：本題考查了平行線的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，是基礎題，難度不大．