Question

【題目】閱讀下列材料，解決問題：

學習了勾股定理后我們知道：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．根據勾股定理我們定義：如圖①，點M、N是線段AB上兩點，如果線段AM、MN、NB能構成直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股點

解決問題

（1）在圖①中，如果AM＝2，MN＝3，則NB＝　 　．

（2）如圖②，已知點C是線段AB上一定點（AC＜BC），在線段AB上求作一點D，使得C、D是線段AB的勾股點．李玉同學是這樣做的：過點C作直線GH⊥AB，在GH上截取CE＝AC，連接BE，作BE的垂直平分線交AB于點D，則C、D是線段AB的勾股點你認為李玉同學的做法對嗎？請說明理由

（3）如圖③，DE是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點（AM＜MN＜NB），連接CM、CN分別交DE于點G、H求證：G、H是線段DE的勾股點．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）對，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）分兩種情形分別求解即可解決問題．

（2）想辦法證明DB2＝AC2+CD2即可．

（3）利用三角形的中位線定理以及勾股定理證明EH2＝GH2+DG2即可．

解：（1）當BN是斜邊時，BN＝＝．

當MN是斜邊時，BN＝＝，

故答案為或．

（2）如圖②中，連接DE．

∵點D在線段BE的垂直平分線上，

∴DE＝DB，

∵GH⊥BC，

∴∠ECD＝90°，

∴DE2＝EC2+CD2，

∵AC＝CE，DE＝DB，

∴DB2＝AC2+CD2，

∴C、D是線段AB的勾股點．

（3）如圖3中，

∵CD＝DA，CE＝EB，

∴DE∥AB，

∴CG＝GM，CH＝HN，

∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，

∵BN2＝MN2+AM2，

∴BN2＝MN2+AM2，

∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，

∴EH2＝GH2+DG2，

∴G、H是線段DE的勾股點．