Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，點A的橫坐標為﹣1，過點C（0，3）的直線y=﹣x+3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．

（1）確定b，c的值；

（2）寫出點B，Q，P的坐標（其中Q，P用含t的式子表示）；

（3）依點P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)b=,c=3;

(2)B（4,0）,P（4﹣4t,3t）,Q（4t,0）;

(3)當t=或或時,△PQB為等腰三角形．

【解析】

試題（1）將A、C的坐標代入拋物線中即可求得待定系數的值．

（2）根據拋物線的解析式可求得B點的坐標,即可求出OB,BC的長,在直角三角形BPH中,可根據BP的長和∠CBO三角函數求出PH,BH的長,進而可求出OH的長,也就求出了P點的坐標．Q點的坐標,可直接由直線CQ的解析式求得．

（3）本題要分情況討論：

①PQ=PB,此時BH=QH=BQ,在（2）中已經求得了BH的長,BQ的長可根據B、Q點的坐標求得,據此可求出t的值．

②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值．

③PQ=BQ,已經求得了BH的長,可表示出QH的長,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表達式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值．

試題解析：（1）已知拋物線過A（﹣1,0）、C（0,3）,則有：

,

解得,

因此b=,c=3;

（2）令拋物線的解析式中y=0,則有﹣x2+x+3=0,

解得x=﹣1,x=4;

∴B（4,0）,OB=4,

因此BC=5,

在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,

∴sin∠CBO=,cos∠CBO=,

在直角三角形BHP中,BP=5t,

因此PH=3t,BH=4t;

∴OH=OB﹣BH=4﹣4t,

因此P（4﹣4t,3t）．

令直線的解析式中y=0,則有0=﹣x+3,x=4t,

∴Q（4t,0）;

（3）存在t的值,有以下三種情況

①如圖1,當PQ=PB時,

∵PH⊥OB,則QH=HB,

∴4﹣4t﹣4t=4t,

∴t=,

②當PB=QB得4﹣4t=5t,

∴t=,

③當PQ=QB時,在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2,

∴（8t﹣4）2+（3t）2=（4﹣4t）2,

∴57t2﹣32t=0,

∴t=,t=0（舍去）,

又∵0＜t＜1,

∴當t=或或時,△PQB為等腰三角形．