Question

求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．

Answer 1

【答案】分析：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，菱形ABCD各邊中點分別為M、N、P、Q，根據菱形的性質得到AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四點在以O為圓心OM為半徑的圓上．
解答：已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O．
求證：菱形ABCD各邊中點M、N、P、Q在以O為圓心的同一個圓上．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，
而M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴OM=ON=OP=OQ=AB，
∴M、N、P、Q四點在以O為圓心OM為半徑的圓上．
所以菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．
點評：本題考查了四點共圓的判定方法．也考查了菱形的性質以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．