Question

【題目】如圖，∠AOB=120°，射線OC從OA開始，繞點O逆時針旋轉，旋轉的速度為每分鐘20°；射線OD從OB開始，繞點O逆時針旋轉，旋轉的速度為每分鐘5°，OC和OD同時旋轉，設旋轉的時間為t（0≤t≤15）．

（1）當t為何值時，射線OC與OD重合；

（2）當t為何值時，∠COD=90°；

（3）試探索：在射線OC與OD旋轉的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OC，OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的t的取值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=8min時，射線OC與OD重合；

（2）當t=2min或t=14min時，射線OC⊥OD；

（3）存在，詳見解析.

【解析】

（1）當OC與OD重合時，根據角度關系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD，利用題中射線的旋轉速度，由角度=時間×旋轉速度，列出方程，求解即可得到射線OC與OD重合時的時間t；

（2）當∠COD=90°時，可分為兩種情況，當OC位于OD的右邊時：∠BOD+120°=∠AOC+90°；當OC位于OD左邊時：∠AOC-90°-120°=∠BOD，列出對應的方程，求解即可；

（3）分三種情況來考慮，當OB為角平分線時：120°-∠AOC=∠BOD；當OC為角平分線時：∠AOC-120°=∠BOD；當OD為角平分線時：∠AOC-120°=2∠BOD，列方程求解即可.

解：（1）由題意得，20t=5t+120°，解得t=8，

即當t=8分鐘時，射線OC與OD重合；

（2）當OC位于OD的右邊時：∠BOD+120°=∠AOC+90°，則可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分鐘；

當OC位于OD左邊時：∠AOC-90°-120°=∠BOD，則可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分鐘；

故當t=2或14分鐘時，∠COD=90°；

（3）存在.

當OB為角平分線時：120°-∠AOC=∠BOD，則可得120°-20t=5t，解得t=4.8分鐘；

當OC為角平分線時：∠AOC-120°=∠BOD，則可得20t-120°=×5t，解得t=分鐘；

當OD為角平分線時：∠AOC-120°=2∠BOD，則可得20t -120°=2×5t，解得t=12分鐘.

故當t=4.8或或12分鐘時，射線OC，OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線.