Question

（2012•鎮江二模）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸的正半軸交于點C，頂點為E．
（1）求拋物線解析式及頂點E的坐標；
（2）如圖，過點E作BC平行線，交x軸于點F，在不添加線和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：

△BCF與△BCE

；
（3）將拋物線向下平移，與x軸交于點M、N，與y軸的正半軸交于點P，頂點為Q．在四邊形MNQP中滿足S_△NPQ=S_△MNP，求此時直線PN的解析式．

Answer 1

分析：（1）直接運用待定系數法將A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c就可以求出解析式，然后化為頂點式就可以求出頂點坐標；
（2）根據兩平行線間的距離相等就可以得出△BCF與△BCE的高與底相等；
（3）根據平移可以得出對稱軸不變為x=1，就可以求出b的值為2，可以設拋物線的解析式為y=-x²+2x+c（c＞0）．可以分別表示出P、Q的坐標，求出OP、DQ的值，當y=0時可以求出x的值，表示出M、N坐標及MN的長度，
過點Q作QG∥PN與x軸交于點G，連接NG，可以得出S_△MNP=S_△PNG．由條件得出Rt△QDG∽Rt△PON，由相似三角形的性質就可以求出c的值，從而求出P、N的坐標，再由待定系數法就可以求出直線PN的解析式．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c的得

0=-1-b+c 0=-9+3b+c

，
解得：

b=2 c=3

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
即y=-（x-1）²+4．
∴拋物線頂點E的坐標為（1，4）；

（2）∵EF∥BC，
∴△BCF與△BCE的BC邊上的高相等，
S_△BCF=S_△BCE．

（3）將拋物線向下平移，則頂點Q在對稱軸x=1上，
∴-

b

2a

=1，
∴-

b

-2

=1，
∴b=2，
設拋物線的解析式為y=-x²+2x+c（c＞0）．
∴此時，拋物線與y軸的交點為P（0，c），頂點為Q（1，1+c）．
∴OP=c，DQ=1+c．
∵y=0時
∴-x²+2x+c=0，
∴x1=1-

1+c

，x2=1+

1+c

，
∴M  (1-

1+c

，0)，N  (1+

1+c

，0)．
如圖，過點Q作QG∥PN與x軸交于點G，連接NG，則S_△PNG=S_△PNQ．
∵S_△NPQ=S_△MNP，
∴S_△MNP=S_△PNG．
∴NG=MN=2

1+c

．
設對稱軸x=1與x軸交于點D，
∴DG=

1

2

MN+NG=3

1+c

．
∵QG∥PN，
∴∠PND=∠QGD．
∴Rt△QDG∽Rt△PON．
∴

QD

DG

=

PO

ON

．
∴

1+c

3 1+c

=

c

1+ 1+c

．
 c=

5

4

．
∴點P (0，

5

4

)，N (

5

2

，0)．
設直線PN的解析式為y=mx+n，將P，N兩點代入，得

5 4 =n 0= 5 2 +n

，
解得：

m=-- 1 2 n= 5 4

∴直線PN的解析式為 y=-

1

2

x+

5

4

．
故答案為：△BCF與△BCE．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式及一次函數的解析式的運用，拋物線的頂點式的運用，等底等高的三角形的面積關系的運用，相似三角形的判定及性質的運用，在解答時尋找相似三角形，運用其性質求c的值是解答本題的難點和關鍵．