Question

【題目】類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整，原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G.若＝3，求的值．

(1)嘗試探究：

在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是________，

CG和EH的數量關系是________，

的值是________．

(2)類比延伸：

如圖2，在原題條件下，若＝m(m＞0)則的值是________(用含有m的代數式表示)，試寫出解答過程．

(3)拓展遷移：

如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F，若＝a，＝b(a＞0，b＞0)則的值是________(用含a、b的代數式表示)．

Answer 1

【答案】(1)AB=3EH；CG=2EH;(2) (3)ab

【解析】

(1)依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如圖1′所示，則有△ABF∽△EHF

圖1′

∴＝＝3，

∴AB＝3EH

∵ABCD，EH∥AB

∴EH∥CD

又∵E為BC的中點，

∴EH為△BCG的中位線，

∴CG＝2EH，∴＝＝＝

(2)如圖2′所示，作EH∥AB交BG于點H，

圖2′

則△EFH∽△AFB

∴＝＝m，

∴AB＝mEH

∵ABCD

∴AB＝CD＝mEH

∵EH∥AB∥CD

∴△BEH∽△BCG

∴＝＝2，∴CG＝2EH，∴＝＝

(3)如圖3′所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD

圖3′

∵EH∥CD

∴△BCD∽△BEH

∴＝＝b，

∴CD＝bEH

又＝a，

∴AB＝aCD＝abEH

∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF

∴＝＝＝ab

∴＝＝＝ab＋1