Question

（2013•濟南一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．
（1）求AC、BC的長；
（2）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式；
（3）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長；
（2）分別從當點Q在邊BC上運動與當點Q在邊CA上運動去分析，首先過點Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數關系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對應邊成比例，求得△PBQ各邊的長，根據相似三角形的判定，即可得以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC不相似．

解答：解：（1）設AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）分兩種情況：
①當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H．
∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴

QH

AC

=

QB

AB

，
∴QH=

8

5

x，
y=

1

2

BP•QH=

1

2

（10-x）•

8

5

x
=-

4

5

x²+8x（0＜x≤3），
②當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10-x，AQ=14-2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QH′

BC

，
即：

14-2x

10

=

QH′

6

，
解得：QH′=

3

5

（14-2x），
∴y=

1

2

PB•QH′=

1

2

（10-x）•

3

5

（14-2x）
=

3

5

x²-

51

5

x+42（3＜x＜7）；

（3）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC不相似．理由如下：
∵AP=x，
∴AQ=14-2x，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

=

PQ

BC

，
即：

x

8

=

14-2x

10

=

PQ

6

，
解得：x=

56

13

，PQ=

42

13

，
∴PB=10-x=

74

13

，
∴

PQ

PB

=

42 13

74 13

=

21

37

≠

BC

AC

，
∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC不相似．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及最短距離問題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．