Question

（2013•濟(jì)南一模）如圖，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果點(diǎn)P由C出發(fā)沿CA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．（單位：s）．（0≤t≤4）解答下列問(wèn)題：
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；
（3）設(shè)△AQP的面積為S（單位：cm²），當(dāng)t為何值時(shí)，s=

36

5

cm²；
（4）是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理直接求出AC的長(zhǎng)即可；
（2）由PQ∥BC時(shí)的比例線段關(guān)系，列一元一次方程求解；
（3）如圖2所示，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D，構(gòu)造比例線段，求得PD，從而可以得到S的表達(dá)式，然后利用s=

36

5

cm²求出即可；
（4）要點(diǎn)是利用（3）中求得的△AQP的面積表達(dá)式，再由線段PQ恰好把△ABC的面積平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；

解答：解：（1）∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=

82+62

=10（cm）；

（2）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，
∵CP=2t，則AP=10-2t．
∵PQ∥BC，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，即

10-2t

10

=

2t

8

，
解得：t=

20

9

，
∴當(dāng)t=

20

9

s時(shí)，PQ∥BC．

（3）如圖2所示，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D．
∴PD∥BC，
∴

AP

AC

=

PD

BC

，
即

10-2t

10

=

PD

6

，
解得：PD=6-

6

5

t．
S=

1

2

×AQ×PD=

1

2

×2t×（6-

6

5

t）
=-

6

5

t²+6t=

36

5

整理得出：
t²-5t+6=0，
（t-2）（t-3）=0，
解得：t₁=2，t₂=3，
故當(dāng)t為2或3時(shí)，s=

36

5

cm²；

（4）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC•BC=24，
∴此時(shí)S_△AQP=12．
由（2）可知，S_△AQP=-

6

5

t²+6t，
∴-

6

5

t²+6t=12，化簡(jiǎn)得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，此方程無(wú)解，
∴不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形線段比例關(guān)系、勾股定理一元一次方程的解法、一元二次方程的解法與判別式等知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)眾多，計(jì)算量偏大，有一定的難度．本題考查知識(shí)點(diǎn)非常全面，是一道測(cè)試學(xué)生綜合能力的好題．