Question

【題目】已知，是⊙O的直徑，弦垂直平分，垂足為，連接．

（1）如圖1，求的度數；

（2）如圖2，點分別為上一點，并且，連接，交點為G，R為上一點，連接與交于點H，，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）60°；

（2）證明見解析；

（3）半徑為．

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質和圓的半徑相等可得出是等邊三角形，再根據同弧所對的圓周角相等即可求出答案；

（2）垂直平分，是等邊三角形，得出△BCD是等邊三角形，得到BD=BC，∠CBM=∠BDN，再證明，根據外角設，找到即可求出結論．

（3）在（2）的條件下，做輔助線：作CP⊥BN，DQ⊥CM，翻折DH到DT；求出，再根據角的關系得到∠DHT=∠CDT=∠T即，由勾股定理求出DC即可求解半徑．

（1）證明：

連接

∵垂直平分，

又

是等邊三角形

∵ ,

（2）證明：

∵垂直平分，

∴,AB⊥CD，

∴∠ABC=∠ABD，BC=BD，

∵是等邊三角形，

∴∠AOD=60°，

∴∠DBC=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴BD=BC，∠CBM=∠BDN，

∵

∴，

∴∠BCM=∠DBN，

∵∠DBN+∠CBN=60°，

∴∠BCM+∠CBN=60°，

∵∠BGM是△BGC的一個外角，

∴，

設，

∵，

∴，

，

∵∠DHM是△DHC的一個外角，

∴，

∴．

（3）如圖：連接AC，作CP⊥BN，DQ⊥CM，翻折DH到DT；

①在中：

，，

勾股定理得，

②∵BC=CD，∠DCM=∠CBP，∠CPB=∠CQD=90°，

，

得，

翻折得，

∵，

∴∠DHT=∠DCM+∠CDR=60°-∠BCM+ =60°+，

∴，

∵∠CDT=∠CDR+∠HDT

∴∠CDR+2（90°-∠DHT）=∠CDR+2（30°-∠BCM）=60°+，

∴∠DHT=∠CDT=∠T，

得

③設，

在中，

，

，

得，

由（1）得∠ACF=30°，∠A=60°，

∴AC= ，

∵ ,

∴AC=，

即半徑為；