Question

（11·十堰）如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF。
（1）求證：DE是半圓的切線；
（2）連接OD，當OC=BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結論。

Answer 1

證明：（1）如圖，連接OD，

則OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，△AED由△ACD對折得到，所以∠CDA=∠EDA,
又CD⊥AB，∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D在半圓O上，
∴DE是半圓的切線。
（2）四邊形ODFA是菱形。

在Rt△OCD中，∠ODC=30°，∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°。
∴OD//AF，∠FAO=60°，又∵OF=OA，∴△FAO是等邊三角形，∴OA=AF，∴OD=AF，
∴四邊形ODFA是平行四邊形，∵OA=OD，∴四邊形ODFA是菱形.

略