Question

【題目】(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點．且BE+DF=EF．試求∠EAF度數．

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得求出∠EAF度數，他求出的∠EAF度數應是 ．請你根據他的思路完成論證過程.

(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，試探究當∠EAF與∠BAD滿足什么關系時有BE+DF=EF，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）當∠EAF＝∠BAD時有BE+DF=EF，理由見解析.

【解析】

（1）延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再證明△AEF≌△AGF，可得∠EAF＝∠GAF，即可解題；

（2）延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再證明△AEF≌△AGF，可得∠EAF＝∠GAF，即可解題．

解：（1）在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵BE+DF=EF，

∴DG+DF=EF，即GF=EF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF，

∴∠EAF＝∠FAD+∠DAG，即∠EAF＝∠FAD+∠BAE，

∴∠EAF＝∠BAD＝60°；

（2）當∠EAF＝∠BAD時有BE+DF=EF，

理由：延長FD到點G，使DG＝BE．連結AG，

∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵BE+DF=EF，

∴DG+DF=EF，即GF=EF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF，

∴∠EAF＝∠FAD+∠DAG，即∠EAF＝∠FAD+∠BAE，

∴∠EAF＝∠BAD，

∴當∠EAF＝∠BAD時有BE+DF=EF.