Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當經過1秒時，△BPD與△CQP是否全等，請判斷并說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD≌△CPQ？

（2）若點Q以②的運動速度從點C出發，點P以原來運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC的三邊運動，求經過多長時間，點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上會相遇？

Answer 1

【答案】（1）①是，見解析；②；（2）24秒，BC

【解析】

（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根據等邊對等角求得∠B=∠C，最后根據SAS即可證明；

②因為VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根據全等得出CQ=BD=6，然后根據運動速度求得運動時間，根據時間和CQ的長即可求得Q的運動速度；

（2）因為VQ>VP，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，據此列出方程，解這個方程即可求得.

解答：

(1)①∵t=1(秒)

∴BP=CQ=3(cm)

∵AB=12，D為AB中點

∴BD=6(cm)

又∵PC=BCBP=93=6(cm)

∴PC=BD

∵AB=AC

∴∠B=∠C

在△BPD與△CQP中，

∴△BPD≌△CQP(SAS)；

②∵VP≠VQ

∴BP≠CQ

又∵∠B=∠C

要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5(cm)，

∵△BPD≌△CPQ

∴CQ=BD=6(cm)

∴點P的運動時間，

此時.

(2)因為VQ>VP，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，

設經過x秒后P與Q第一次相遇，依題意得4x=3x+2×12，

解得x=24(秒)

此時P運動了24×3=72(cm)

又∵△ABC的周長為33cm，72÷33=2余6，

∴點P、Q在BC邊上相遇，即經過了24秒，點P與點Q第一次在BC邊上相遇。