Question

【題目】如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．

探究發現

（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．

拓展運用

（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．

（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．

Answer 1

【答案】（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．

【解析】

（1）依據等式的性質可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據SAS可證明△ACE≌△BCD；

（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計算AE的長，可得BD的長；

（3）過點A作AF⊥CD于F，先根據平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數可得AF的長，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據勾股定理可得AD的長．

解：（1）全等，理由是：

∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，

∴BD＝AE，

∵△DCE都是等邊三角形，

∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，

∵∠ADC＝30°，

∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，

∴，

∴BD＝；

（3）如圖2，過點A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三點在一條直線上，

∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，

∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴∠BCA＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，

∴AF＝AC×sin∠ACF＝，

∴S△ACD＝，

∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，

在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，

∴AD＝．