Question

【題目】如圖，點O為直線AB外一定點，點P線段AB上一動點，在直線OP右側作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，當點P從點A運動到點B時，點Q運動的路徑長是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先根據題意可知所有的Rt△OPQ都是相似的，從而得出點Q實質就是在一條豎直的直線上運動，據此我們假設點O在點A的正上方，且設點O（0，3），點A（0，0），點B（3，0），點P（xp，0），其中0≤xp≤3，通過待定系數法求出直線OP的解析式為：，由此得出直線OQ的解析式為：，據此利用特殊角的三角函數值得出，最后在此基礎上作進一步分析即可.

由題意得：所有的Rt△OPQ都是相似的，

∴點Q實質就是在一條豎直的直線上運動，

∴假設點O在點A的正上方，再設點O（0，3），點A（0，0），點B（3，0），點P（xp，0），其中0≤xp≤3，

∴設直線OP的解析式為：，

則，

∴，

∴直線OP的解析式為：，

∵OP⊥OQ，

∴直線OQ的解析式為：，

∴點Q（xQ，），

∴(tan30°)2=，

∴

∴xQ=，yQ=，

又∵0≤xp≤3，

∴3≤yQ≤3+，

∴點Q運動的長度為，

故答案為：．