Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，A為弧BD中點，連接對角線AC，E在AC上，且AE＝AB求證：

（1）∠CBE＝∠CAD；

（2）AC2＝BCCD+AB2．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析

【解析】

（1）連接BD交AC于F，根據圓的性質得：∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性質得：∠ABE＝∠AEB，根據外角的性質得：∠CBE＝∠DBE，從而得結論；

（2）先根據兩角相等兩三角形相似證明：△ACD∽△BCF和△ABF∽△ACB，列比例式后，化為乘積式后相加可得結論．

證明：（1）連接BD交AC于F，

∵A為弧BD中點，

∴弧AB=弧AD，

∴∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∵∠AEB＝∠ACB+∠CBE，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，

∴∠CBE＝∠DBE，

∵∠CAD＝∠CBD＝2∠CBE，

∴∠CBE＝∠CAD，

（2）∵∠DBC＝∠CAD，∠ACB＝∠ACD，

∴△ACD∽△BCF，

∴ ，

∴BCCD＝ACCF①，

∵∠ABF＝∠ACB，∠BAF＝∠CAB，

∴△ABF∽△ACB，

∴，

∴AB2＝ACAF②，

①+②得：AB2+BCCD＝ACCF+ACAF＝AC（CF+AF），

∴AC2＝BCCD+AB2．