Question

【題目】如圖1，是的外接，是直徑，是外一點且滿足，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，，求直徑的長；

（3）如圖2，當時，與交于點，試寫出、、之間的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）5；（3）,證明見詳解

【解析】

(1)連接OC，由OB=OC知∠OCB=∠B，結合∠DCA=∠B得∠DCA=∠OCB，再由AB是直徑知∠ACB=90°，據此可得∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，從而得證；

(2)先利用勾股定理求得AC=2，再證△ADC∽△ACB得，據此求解可得；

(3)連接BE，在AC上截取AF=BC，連接EF..由AB是直徑、∠DAB=45°知∠AEB=90°，據此得△AEB是等腰直角三角形，AE=BE，再證△ECB≌△EFA得EF=EC，據此可知△FEC是等腰直角三角形，從而得出，從而得證．

解：（1）證明：連接OC.

∵OB=OC

∴∠OCB=∠B

∵∠DCA=∠B

∴∠DCA=∠OCB

∵AB是直徑

∴∠ACB=90

∴∠DCA+∠ACO =∠OCB+∠ACO=90,

即∠DCO=90,

∴CD是⊙O的切線

（2）∵AD⊥CD，CD＝2，AD＝4.

∴，

由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90

∴△ADC∽△ACB

∴

∴

∴AB=5．

（3），

如圖2，連接BE，在AC上截取AF=BC，連接EF.

∵AB是直徑，∠DAB=45

∴∠AEB=90

∴△AEB是等腰Rt△

∴AE=BE

又∵∠EAC=∠EBC，

∴△ECB≌△EFA

∴EF=EC，∵∠ACE=∠ABE=45

∴△FEC是等腰Rt△

∴

∴.