Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）

（1）若△CEF與△ABC相似．

①當AC=BC=2時，AD的長為　 　；

②當AC=3，BC=4時，AD的長為　 　；

（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）①。

②或。

（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似。理由如下：

如答圖3所示，連接CD，與EF交于點Q，

∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B。

由折疊性質可知，∠CQF=∠DQF=90°，

∴∠DCB+∠CFE=90°。

∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A。

又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA。

【解析】

（1）若△CEF與△ABC相似．

①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示，

此時D為AB邊中點，AD=AC=。

②當AC=3，BC=4時，有兩種情況：

（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示，

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC。

由折疊性質可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高。

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5。

∴cosA=。∴AD=ACcosA=3×=。

（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B。

由折疊性質可知，∠CEF+∠ECD=90°。

又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD。

同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD。∴AD=BD。

∴此時AD=AB=×5=．

綜上所述，當AC=3，BC=4時，AD的長為或。

（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個三角形相似。