Question

【題目】類比、轉化等數學思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整.

已知.

（1）觀察發現

如圖①，若點是和的角平分線的交點，過點作分別交、于、，填空： 與、的數量關系是________________________________________.

（2）猜想論證

如圖②，若點是外角和的角平分線的交點，其他條件不變，填： 與、的數量關系是_____________________________________.

（3）類比探究

如圖③，若點是和外角的角平分線的交點.其他條件不變，則（1）中的關系成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請寫出關系式，再證明.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）不成立, ，證明詳見解析.

【解析】

（1）根據平行線的性質與角平分線的定義得出∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC，從而得出EF與BE、CF的數量關系;

（2）根據平行線的性質與角平分線的定義得出∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC，從而得出EF與BE、CF的數量關系;

（3）根據平行線的性質與角平分線的定義得出EF與BE、CF的數量關系．

（1）EF=BE+CF.

∵點D是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，

∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB．

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB．

∴∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC．

∴EB=ED，DF=CF．

∴EF=BE+CF．

故本題答案為：EF=BE+CF．

（2）EF=BE+CF.

∵D點是外角∠CBE和∠BCF的角平分線的交點，

∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB．

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB．

∴∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC．

∴EB=ED，DF=CF．

∴EF=BE+CF．

故本題答案為：EF=BE+CF．

（3）不成立；EF=BECF，證明詳見解析．

∵點D是∠ABC和外角∠ACM的角平分線的交點，

∴∠EBD=∠DBC，∠ACD=∠DCM．

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCM．

∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD．

∴BE=ED，FD=FC．

∵EF=EDFD，

∴EF=BECF．