Question

【題目】點A，B，C為數軸上的三點，如果點C在點A，B之間，且到點A的距離是點C到點B的距離的3倍，那么我們就稱點C是{A，B}的奇妙點．例如，如圖①，點A表示的數為－3，點B表示的數為1.表示0的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是{A，B}的奇妙點；又如，表示－2的點D到點A的距離是1，到點B的距離是3，那么點D就不是{A，B}的奇點，但點D是{B，A}的奇妙點．

（知識運用）

如圖②，M，N為數軸上的兩點，點M所表示的數為－2，點N所表示的數為6.

(1)表示數_____的點是{M，N}的奇妙點；表示數______的點是{N，M}的奇妙點；

(2)若點P所表示的數為3，點P是{M，N}的奇妙點，則點M、N所表示的數可以是幾？M=______，N=_____(寫出一組即可)

(3)如圖③，A，B為數軸上的兩點，點A所表示的數為－10，點B所表示的數為50.現有一動點P從點A出發向右運動，點P運動到數軸上的什么位置時，P，A，B中恰有一個點為其余兩點的奇妙點？

Answer 1

【答案】（1）4，0；（2）6；2；（3）p對應的數是5，35，70，230.

【解析】

（1）根據定義發現：奇妙點表示的數到{ M，N}中，前面的點M是到后面的數N的距離的3倍，從而得出結論；根據定義發現：奇妙點表示的數到{N，M}中，前面的點N是到后面的數M的距離的3倍，從而得出結論；
（2）根據定義，即可解答;

（3）點A到點B的距離為60，由奇妙點的定義分情況討論，可以得出結論．

(1)∵6－(－2)＝8，

∴8÷4＝2，

∵6－2＝4，

∴表示數4的點是{M，N}的奇妙點

∵－2＋2＝0.

∴表示數0的點是{N，M}的奇妙點．

故答案為:4，0

(2)令M為6，則MP=3NP

∵MP=3

∴NP=1

∴N為2

故答案為:6，2

（3）設點P表示的數為x（﹣10＜x），

∵點A表示數﹣10，點B表示數50，

∴AP＝x﹣（﹣10）＝x+10，AB＝50﹣（﹣10）＝60，

當P在B的右側時：BP＝x﹣50；當P在B的左側時：BP＝50﹣x

①當點P是（A，B）的“奇妙點”時，

∴AP＝3BP，

∴x+10＝3（50-x），

∴x＝35，

②當點P是（B，A）的“奇妙點”時，

∴BP＝3AP，

∴50-x＝3（x+10），

∴x＝5，

③當點B是（P，A）的“奇妙點”時，

∴BP＝3AB，

∴x﹣50＝180，

∴x＝230，

④當點B是（A，P）的“奇妙點”時，

∴AB＝3BP，

∴60＝3（x﹣50），

∴x＝70，

即：p對應的數是5，35，70，230.