Question

【題目】設a,b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[a,b]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n,我們就稱此函數是閉區間[m.n]上的“閉函數”．如函數 ，當x=1時，y=3；當x=3時，y=1，即當 時，有 ，所以說函數 是閉區間[1,3]上的“閉函數”．
（1）反比例函數y= 是閉區間[1,2016]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；
（2）若二次函數y= 是閉區間[1,2]上的“閉函數”，求k的值；
（3）若一次函數y=kx+b(k≠0)是閉區間[m，n]上的“閉函數”，求此函數的表達式（用含m，n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：反比例函數y= 是閉區間[1,2016]上的“閉函數”．

理由如下：

反比例函數y= 在第一象限，y隨x的增大而減小，

當x=1時，y=2016； 當x=2016時，y=1，

即圖象過點（1,2016）和（2016,1）

∴當1≤x≤2016時，有1≤y≤2016，符合閉函數的定義，

∴反比例函數y= 是閉區間[1，2016]上的“閉函數”

（2）解：由于二次函數 的圖象開口向上，

對稱軸為 ，

∴二次函數 在閉區間[1,2]內，y隨x的增大而增大．

當x=1時，y=1，

∴k= ．

當x=2時，y=2，

∴k= ．

即圖象過點（1,1）和（2,2）

∴當1≤x≤2時，有1≤y≤2，符合閉函數的定義，

∴k=

（3）解：因為一次函數 是閉區間 上的“閉函數”，

根據一次函數的圖象與性質，有：

（Ⅰ）當 時，即圖象過點（m,m）和（n,n）

，

解得 ．

∴

（Ⅱ）當 時，即圖象過點（m,n）和（n,m）

，解得

∴ ，

∴一次函數的表達式為 或

【解析】（1）根據反比例函數y=在第一象限，y隨x的增大而減小，當x=1時，y=2016；當x=2016時，y=1，即圖象過點（1，2016）和（2016，1）；當1≤x≤2016時，有1≤y≤2016，符合閉函數的定義，得到反比例函數y=是閉區間[1，2016]上的“閉函數”；（2）由于二次函數 y=x22xk的圖象開口向上，對稱軸為，二次函數在閉區間[1，2]內，y隨x的增大而增大；當x=1時，y=1，k= ；當x=2時，y=2，k= ；即圖象過點（1，1）和（2，2）當1≤x≤2時，有1≤y≤2，符合閉函數的定義，求出k的值；（3）根據一次函數的圖象與性質，當k＞0時，得到y=x；當k＜0時，得到y=-x+m+n，得到一次函數的表達式.