Question

【題目】如圖，點C是線段AB上除點A，B外的任意一點，分別以AC，BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN.

(1)求證：BD＝AE.

(2)求證：△NMC是等邊三角形.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)先由△ACD和△BCE是等邊三角形，可知AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，故可得出∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，根據SAS定理可知△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的性質即可得出結論；

(2)由(1)中△ACE≌△DCB，可知∠CAM＝∠CDN，再根據∠ACD＝∠ECB＝60°，A、C、B三點共線可得出∠DCN＝60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC＝NC，再根據∠MCN＝60°可知△MCN為等邊三角形.

證明：(1)∵△ACD和△BCE是等邊三角形，

∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，

∵∠DCA＝∠ECB＝60°，

∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，

在△ACE與△DCB中，

.

∴△ACE≌△DCB(SAS)，

∴AE＝BD；

(2)∵由(1)得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM＝∠CDN，

∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A.C.B三點在同一條直線上，

∴∠DCN＝60°，

在△ACM與△DCN中，

∵∠MAC＝∠NDC，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，

∴△ACM≌△DCN(ASA)，

∴MC＝NC，

∵∠MCN＝60°，

∴△MCN為等邊三角形.