Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點，直線y＝－x＋4與x軸交于點A，與y軸交于點B.

(1)求點A，B的坐標；

(2)在直線AB上是否存在點P，使△OAP是以OA為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)若將Rt△AOB折疊，使OB邊落在AB上，點O與點D重合，折痕為BC，求點C的坐標。

(4)直接寫出折痕BC所在直線的表達式．

Answer 1

【答案】(1) A(4,0),B(0,4)； (2) P點坐標為(2,2)； (3) C(44,0)；(4) 折痕BC的解析式為y=-(1+)x+4.

【解析】

（1）利用直線解析式，容易求得A、B的坐標；
（2）作線段OA的垂直平分線，交x軸于點E，交AB于點P，則P點即為所求，可求得E點坐標，則容易求得P點坐標；
（3）可設C（t，0），由折疊的性質可得到CD=t，AC=4-t，在Rt△ACD中，由勾股定理可得到關于t的方程，可求得t的值，則可求得C點坐標；

（4）利用待定系數法可求得直線BC的解析式．

解：(1)在y=x+4中，令x=0可得y=4，令y=0可求得x=4，

∴A(4,0)，B(0,4)；

(2)如圖1，作線段OA的垂直平分線，交x軸于點E，交AB于點P，

則OP=PA，即P點即為滿足條件的點，

∵OA=4，

∴OE=2，

在y=x+4中，當x=2時，可得y=2，

∴P點坐標為(2,2)；

(3)設C(t,0)，則AC=OAOC=4t，

∵OA=OB=4，

∴AB=4，

由折疊的性質可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90，

∴AD=ABBD=44，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC2=AD2+CD2,即(4t)2=t2+(44)2,

解得t=44，

∴C(44,0)，

(4) 設直線BC解析式為y=kx+b，

∵B(0,4)，C(44,0)

∴

解得：

折痕BC的解析式為y=-(1+)x+4