Question

如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點、F為AC的中點，過點C作CE//AB交DF的延長線于點E，連結AE．
（1）求證：四邊形ADCE為平行四邊形．
（2）若EF=2，，求DC的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）2+.

試題分析：（1）首先證明△DAF≌△ECF，則AD=CE，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證得.
（2）作FH⊥DC于點H，在Rt△DFH中利用三角函數求得FH的長，在Rt△CFH中利用勾股定理即可求解．
試題解析：（1）∵CE//AB，∴∠DAF=∠ECF．
∵F為AC的中點，∴AF=CF．
∵在△DAF和△ECF中 ，
∴△DAF≌△ECF（SAS）．∴AD=CE．
∵CE//AB，∴ 四邊形ADCE為平行四邊形．
（2）如圖，過點F作FH⊥DC于點H．
∵ 四邊形ADCE為平行四邊形．
∴ AE//DC，DF= EF=2， ∴∠FDC =∠AED=45°．
在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，
∴ sin∠FDC=，得FH=2，
tan∠FDC=，得DH=2．
在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴ FC=4．
由勾股定理，得HC=．
∴ DC=DH+HC=2+．