Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經過點A、B．求：

（1）點A、B的坐標；

（2）拋物線的函數表達式；

（3）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+BM的最小值及點M的坐標；

（4）在拋物線對稱軸上是否存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（1，0）．點B的坐標為（0，3）．（2）y=x2﹣4x+3．（3）M（2，1）．（4）點P的坐標為（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．

【解析】

試題分析：（1）將x=0代入直線的解析式可求得點B的坐標，將y=0代入直線的解析式可求得點A的坐標；

（2）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式得到關于a、k的方程組，求得a、k的值，從而可求得拋物線的解析式；

（3）先求得拋物線的對稱軸方程，從而可求得點C的坐標，由軸對稱圖形的性質可知AM+BM=BM+MC，當點B、M、C在一條直線上時，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的長，從而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，從而得到點M的坐標；

（4）設點P的坐標為（2，m），然后分為AP=PB，AP=AB，BA=BP三種情況列方程求解即可．

解：（1）∵將x=0代入直線的解析式得：y=3，

∴點B的坐標為（0，3）．

∵將y=0代入直線的解析式得：﹣3x+3=0，解得：x=1．

∴點A的坐標為（1，0）．

（2）將A（1，0）、B（0，3）代入拋物線的解析式得：，

解得：a=1，k=﹣1．

拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（3）如圖所示：連接BC交拋物線的對稱軸于點M，連接AM．

∵由題意可知拋物線的對稱軸為x=2，

∴點C的坐標為（3，0）．

∵點A與點M關于x=2對稱，

∴AN=MC．

∴AM+BM=BM+MC．

∵當點B、M、C在一條直線上時，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值為BC的長．

∴AM+BM的最小值==3．

∵MD∥OB，

∴△CDM∽△COB．

∴，即．

解得：MD=1．

∴M（2，1）．

（4）設點P的坐標為（2，m）．

①當PA=PB時，由兩點間的距離公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．

整理得：6m=12．

解得：m=2．

點P的坐標為（2，2）．

②當AP=AB時，由兩點間的距離公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（1﹣0）2+（0﹣3）2．

整理得：m2=9．

解得：m=3或m=﹣3（舍去）．

點P的坐標為（2，3）．

③當BA=BP時，由兩點間的距離公式可知：（1﹣0）2+（0﹣3）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．

整理得：（m﹣3）2=6．

解得：m=3+或m=3﹣．

點P的坐標為（2，3+）或（2，3﹣）．

綜上所述，點P的坐標為（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．