Question

【題目】我們做如下的規定：如果一個三角形在運動變化時保持形狀和大小不變，則把這樣的三角形稱為三角形板．

把兩塊邊長為4的等邊三角形板和疊放在一起，使三角形板的頂點與三角形板的AC邊中點重合，把三角形板固定不動，讓三角形板繞點旋轉，設射線與射線相交于點M，射線與線段相交于點N．

（1）如圖1，當射線經過點，即點N與點重合時，易證△ADM∽△CND．此時，AM·CN=　　　　　　．

（2）將三角形板由圖1所示的位置繞點沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為．其中，問AM·CN的值是否改變？說明你的理由．

（3）在（2）的條件下，設AM= x，兩塊三角形板重疊面積為，求與的函數關系式．（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

【答案】（1）4；（2）AMCN的值不會改變，理由見解析；（3）1＜x＜4時，y= ；x≥4時，y=．

【解析】

（1）證明△ADM∽△CND，根據相似三角形的性質來求解；
（2）不會改變，關鍵還是證△ADM∽△CND，已知一組60°角，根據旋轉的性質可得∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似，因此結論不變；
（3）本題分兩種情況進行討論：①當0°＜α＜60°時；②當60°≤α＜90°時．

解：（1）∵∠A=∠C=∠D=60°，
∴∠ADM+∠CDN=120°，∠ADM+∠AMD=120°，
∴∠CDN=∠AMD，
∴△ADM∽△CND，
∴，
∴AMCN=ADCD，
∵頂點D與三角形板ABC的AC邊中點O重合，
∴AD=CD=2，
∴AMCN=ADCD=2×2=4，
故答案為：4；
（2）AMCN的值不會改變．
連接BD，

在△ADM與△CND中，
∵∠A=∠C=60°，∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，
∴∠ADM=∠CND，
∴△ADM∽△CND
∴，
∴AMCN=ADCD=2×2=4，
∴AMCN的值不會改變；
（3）情形1，當0°＜α＜60°時，1＜AM＜4，即1＜x＜4，此時兩三角形板重疊部分為四邊形DMBN，
如圖2，過D作DQ⊥AB于Q，DG⊥BC于G，

∴DQ=DG=，
由（2）知，AMCN=4，得CN=，
于是y= （1＜x＜4）；
情形2，當60°≤α＜90°時，AM≥4時，即x≥4，此時兩三角形板重疊部分為△DPN，
如圖3，過點D作DH∥BC交AM于H，易證△MBP∽△MHD，

∴，
又∵MB=x-4，MH=x-2，DH=2,
∴BP=，
∴PN=4－，
于是y= ，
綜上所述，1＜x＜4時，y= ；x≥4時，y=．