Question

【題目】定義：將函數C的圖象繞點P（0，n）旋轉180°，得到新的函數C1的圖象，我們稱函數C1是函數C關于點P的相關函數．

例如：當n＝1時，函數關于點P（0，1）的相關函數為．

（1）當n＝0時，

①二次函數y＝x2關于點P的相關函數為　 　；

②點A（2，3）在二次函數y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關于點P的相關函數的圖象上，求a的值；

（2）函數關于點P的相關函數是，則n＝　 　；

（3）當n﹣1≤x≤n+3時，函數的相關函數的最小值為7，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x2；②；（2）；（3）

【解析】

（1）①n=0時，點P（0，0），則相關函數為：y=-x2，即可求解；
②二次函數y=ax2-2ax+a的頂點為：（1，0），新函數的頂點為（-1，0），則新函數的表達式為：y=-a（x+1）2，將點A的坐標代入上式并解得：a=-；
（2）兩個函數的頂點分別為：（0，）、（0，-），由中點公式即可求解；
（3）分n≤-3、-3＜n≤1、n＞1三種情況，分別求解即可．

解：（1）①n＝0時，點P（0，0），則相關函數為：y＝﹣x2，

故答案為：y＝﹣x2；

②二次函數y＝ax2﹣2ax+a的頂點為：（1，0），新函數的頂點為（﹣1，0），

則新函數的表達式為：y＝﹣a（x+1）2，

將點A的坐標代入上式并解得：a＝﹣；

（2）兩個函數的頂點分別為：（0，）、（0，﹣），

由中點公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，

故答案為：﹣；

（3）y＝﹣2x2+nxn2的頂點為：（，﹣n2），則相關函數頂點為：（﹣，n2+2n），

則相關函數的表達式為：y＝2（x+）2+n2+2n；

①當n≤﹣3時，

函數在x＝n+3時，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，

解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），

故n＝﹣；

②當﹣3＜n≤1時，

函數在頂點處取得最小值，即n2+2n＝7，

解得：n＝﹣1（舍去）；

③當n＞1時，

同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），

綜上，n＝﹣或．