Question

(本題滿分9分)

劉衛同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，，，；圖②中，，，．圖③是劉衛同學所做的一個實驗：他將的直角邊與的斜邊重合在一起，并將沿方向移動．在移動過程中，、兩點始終在邊上(移動開始時點與點重合)．

(1)在沿方向移動的過程中，劉衛同學發現：、兩點間的距離逐漸  ▲  ．

  (填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛同學經過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當移動至什么位置，即的長為多少時，、的連線與平行?

問題②：當移動至什么位置，即的長為多少時，以線段、、的長度為三邊長的三角形是直角三角形?

問題③：在的移動過程中，是否存在某個位置，使得?如果存在，

求出的長度；如果不存在，請說明理由．

請你分別完成上述三個問題的解答過程．

 

Answer 1

 

（1）變小

（2）

①cm時，

②當時，以線段、、的長度為三邊長的三角形是直角三角形

③不存在這樣的位置，使得

解析:（1）變小

（2）問題①：解：∵，，，

∴.

∵,, 

∴.

連結，設.

∴,在中，DC=4.

∴=12-4.

即cm時，

問題②：解：設當，

在中，.

（Ⅰ）當為斜邊時，由得，,.

(Ⅱ)當為斜邊時，由得，,（不符合題意，舍去）.

(Ⅲ)當為斜邊時，由得，,,

=144-248<0,

∴方程無解.

∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，

當時，以線段、、的長度為三邊長的三角形是直角三角形.

問題③不存在這樣的位置，使得.

   假設，由,得.作的平分線，交于,

   則,

∴.

   ∴,.

∴.

    ∴不存在這樣的位置，使得.