Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD中，以BF為底向正方形外側作等腰直角三角形BEF，連接DF，取DF的中點G，連接EG，CG.

(1)如圖1，當點A與點F重合時，猜想EG與CG的數量關系為　 　，EG與CG的位置關系為　 　，請證明你的結論.

(2)如圖2，當點F在AB上（不與點A重合）時，（1）中結論是否仍然成立？請說明理由；如圖3，點F在AB的左側時，（1）中的結論是否仍然成立？直接做出判斷，不必說明理由.

(3)在圖2中，若BC=4，BF=3，連接EC，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）EG=CG，EG⊥CG；（2）當點F在AB上（不與點A重合）時，（1）中結論仍然成立，理由見解析，點F在AB的左側時，（1）中的結論仍然成立；（3）S△CEG=.

【解析】

（1）過E作EM⊥AD交AD的延長線于M，證明△AME是等腰直角三角形，得出AM=EM=AE=AB，證出DG=AG=AD=AM=EM，得出GM=CD，證明△GEM≌△CGD（SAS），得出EG=CG，∠EGM=∠GCD，證出∠CGE=180°-90°=90°，即可得出EG⊥CG；

（2）延長EG至H，使HG=EG，連接DH、CH、CE，證明△EFG≌△HDG（SAS），得出EF=HD，∠EFG=∠HDG，證明△CBE≌△CDH（SAS），得出CE=CH，∠BCE=∠DCH，得出∠ECH=∠BCD=90°，證明△ECH是等腰直角三角形，得出CG=EH=EG，EG⊥CG；延長EG至H，使HG=EG，連接DH、CH、CE，同理可證CG=EH=EG，EG⊥CG；

（3）作EM垂直于CB的延長線與M，先求出BM，EM的值，即可根據勾股定理求出CE的長度，從而求出CG的長，即可求出面積.

解：（1）EG=CG，EG⊥CG；理由如下：

過E作EM⊥AD交AD的延長線于M，如圖1所示：

則∠M=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，

∴∠BAM=90°，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BAE=45°，AE=AB，

∴∠MAE=45°，

∴△AME是等腰直角三角形，

∴AM=EM=AE=AB，

∵G是DF的中點，

∴DG=AG=AD=AM=EM，

∴GM=CD，

在△GEM和△CGD中，

，

∴△GEM≌△CGD（SAS），

∴EG=CG，∠EGM=∠GCD，

∵∠GCD+∠DGC=90°，

∴∠EGM+∠DGC=90°，

∴∠CGE=180°-90°=90°，

∴EG⊥CG；

（2）當點F在AB上（不與點A重合）時，（1）中的結論仍然成立，理由如下：

延長EG至H，使HG=EG，連接DH、CH、CE，如圖2所示：

∵G是DF的中點，

∴FG=DG，

在△EFG和△HDG中，，

∴△EFG≌△HDG（SAS），

∴EF=HD，∠EFG=∠HDG，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE，∠BFE=∠FBE=45°，

∴BE=DH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD，

∴∠AFD=∠CDG，

∴∠AFE=∠CDH=135°，

∵∠CBE=90°+45°=135°，

∴∠CBE=∠CDH，

在△CBE和△CDH中，

，

∴△CBE≌△CDH（SAS），

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，

∴∠ECH=∠BCD=90°，

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵EG=HG，

∴CG=EH=EG，EG⊥CG；

點F在AB的左側時，（1）中的結論仍然成立，理由如下：

延長EG至H，使HG=EG，連接DH、CH、CE，如圖3所示：

∵G是DF的中點，

∴FG=DG，

在△EFG和△HDG中，

，

∴△EFG≌△HDG（SAS），

∴EF=HD，∠EFG=∠HDG，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE，∠BEF=90°，

∴BE=DH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD，

∴∠BNF=∠CDG，

∵∠EFG+∠BNF+∠BEF+∠ABE=∠HDG+∠CDG+∠CDH=360°，

∴∠BEF+∠ABE=∠CDH，

∴∠ABC+∠ABE=∠CDH，即∠CBE=∠CDH，

在△CBE和△CDH中，

，

∴△CBE≌△CDH（SAS），

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，

∴∠ECH=∠BCD=90°，

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵EG=HG，

∴CG=EH=EG，EG⊥CG；

（3）如下圖所示：作EM垂直于CB的延長線與M，

∵△BEF為等腰直角三角形，BF=3，

∴BE=，∠ABE=45°，

∵EM⊥BM，AB⊥CM，

∴∠EBM=45°，

∴△EMB為等腰直角三角形，

∴EM=BM=，

∵BC=4，

∴CM=，

∴CE=，

由（2）知，△GEC為等腰直角三角形，

∴CG=EG=，

∴S△CEG=.