Question

【題目】在△ABC中，AB = AC = 5，tanB =. 若⊙O的半徑為，且⊙O經過點B與C，那么線段OA的長等于________.

Answer 1

【答案】3或5

【解析】

根據題意可得△ABC為等腰三角形，且∠A為頂角，根據tanB的值可以得出BC=8，經過B、C兩點的圓的圓心在BC的中垂線上，然后根據圓心在三角形內和三角形外兩種情況進行分類討論．

解：分兩種情況考慮：

（i）如圖1所示，

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D為BC的中點，

在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝＝，

設AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，

解得x＝1，

∴BD＝3，AD＝4，

在Rt△BDO中，OD＝，BD＝3，

則AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；

（ii）如圖2所示，AO＝ADOD＝41＝3；

綜合上述，OA的長為3或5．

故答案為：3或5．