Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線相交于點和點兩點.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點是位于直線上方拋物線上的一動點，當的面積最大時，求此時的面積及點的坐標；

（3）在軸上是否存在點，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標（不用說理）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）所求拋物線的函數表達式為；（2）的面積有最大值是，此時點坐標為；（3）存在點坐標為或或或.

【解析】

（1）先根據點B在直線y=x+1求出其坐標，再將A，B坐標代入拋物線解析式求解可得；
（2）作PM⊥x軸于點M，交AB于點N，設點P的坐標為（m，-m2+2m+3），點N的坐標為（m，m+1），依據S△PAB=S△PAN+S△PBN列出函數解析式，利用二次函數的性質求解可得；
（3）設點Q坐標為（n，0），結合各點坐標得出QA2=（-1-n）2，QB2=（2-n）2+9，AB2=18，再根據等腰三角形的定義分三種情況分別求解可得．

解（1）點在直線上，

，

點坐標為，

點和點在拋物線上，

，

解得，

所求拋物線的函數表達式為；

（2）過點作軸于點，交于點，

設點的橫坐標為，

則點的坐標為，

點的坐標為，

點是位于直線上方，

.

的面積

,

拋物線開口向下，又，

當時，

的面積有最大值，

最大值是.

此時點坐標為；

（3）存在點坐標為或或或.