Question

【題目】如圖，一次函數y=-x+4的圖象與反比例函數y=（k為常數，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點．

（1）求反比例函數的表達式及點B的坐標；

（2）結合圖象直接寫出不等式-x+4＞的解集

（3）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標及△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的表達式（x≠0），B點坐標為（3，1）；（2）1<x<3；（3）滿足條件的P點坐標為（2.5，0），此時△PAB的面積面積為1.5．

【解析】

（1）依據點A為直線和曲線的交點，代入函數解析式即可得出結論，同時聯立方程組即可求得B點的坐標；

（2）圖象在上面的y值大，聯系函數解析式即可直接得出不等式的解集；

（3）找B點關于x軸的對稱點C，連接AC與x軸交于P點，此點即使所求之點，根據S△PAB = S△PAD － S△PDB，即可得到結論．

（1）∵點A（1，a）是一次函數y=﹣x+4與反比例函數y（k為常數，且k≠0）的交點，∴，解得：a=k=3，∴反比例函數的表達式y，解得：A（1，3），B（3，1），故反比例函數的表達式y（x≠0），B點坐標為（3，1）．

（2）由圖象知，當1＜x＜3時，直線圖象在曲線的上方，故不等式﹣x+4的解集為1＜x＜3．

（3）找B點關于x軸的對稱點C，連接AC交x軸于P點，如圖：

由（2）可知C點坐標為（3，﹣1）．

∵PC=PB，A、P、C在一條直線上，所以此時PA+PB最短，設直線AC方程為y=bx+c，則有，解得：b=﹣2，c=5，故直線AC方程為y=﹣2x+5，將y=0代入其中得：x=2.5，故得出P點坐標為（2.5，0）．

在y=﹣x+4中，令y=0，解得：x=4，∴D（4，0），∴PD=OD-OP=4-2.5=1.5.S△PAB = S△PAD － S△PDB=PD|yA|－PD|yB|=×1.5×（3-1）=1.5．

答：滿足條件的P點坐標為（2.5，0），此時△PAB的面積面積為1.5．