Question

【題目】如圖，AB、CD為 O的直徑，弦AE//CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使 PED= C.

（1）求證：PE是 O的切線；
（2）求證：ED平分 BEP；
（3）若 O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，連接OE．
∵CD是圓O的直徑，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵點E在圓上，
∴PE是⊙O的切線；

（2）

證明：∵AB、CD為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，AE//CD，
∴∠PED=∠1=∠3=∠4，
即ED平分∠BEP.

（3）

解：設EF=x，則CF=2x，
∵⊙O的半徑為5，
∴OF=2x-5，
在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x-5）2，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD-CF=10-8=2，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=2∠4=2∠1=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴=，即=，

∴PF=，

∴PD=PF-DF=-2=．

【解析】（1）連接OE．要證明PE是 ⊙ O的切線，則要證明∠OEP=∠CED=90°，則需要證明 ∠PED=∠2，而∠1=∠2．∠PED=∠1，可證得；
（2）根據同角的余角相等，可得∠3=∠4，又由∠PED=∠1，AE//CD，可得∠PED=∠1=∠3=∠4，即可證得；
（3）設EF=x，則CF=2x，根據勾股定理OE2=OF2+EF2 ， 求出EF，BE，CF，DF；根據∠BEP=2∠4=2∠1=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，得到△AEB∽△EFP，從而根據相似三角形的性質求得PF，則PD=PF-DF.
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理和相似三角形的判定與性質，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．