Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax＋b(a≠0)的圖象與反比例函數y＝ (k≠0)的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點，與y軸交于C點，過點A作AH⊥y軸，垂足為H，OH＝3，tan∠AOH＝，點B的坐標為(m，－2)．

(1)求△AHO的周長；

(2)求該反比例函數和一次函數的解析式．

【答案】(1)△AHO的周長為12；(2) 反比例函數的解析式為y＝，一次函數的解析式為y＝－x＋1.

【解析】試題分析: （1）根據正切函數，可得AH的長，根據勾股定理，可得AO的長，根據三角形的周長，可得答案；

（2）根據待定系數法，可得函數解析式．

試題解析：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得

AH=4．即A（-4，3）．

由勾股定理，得

AO==5，

△AHO的周長=AO+AH+OH=3+4+5=12；

（2）將A點坐標代入y=（k≠0），得

k=-4×3=-12，

反比例函數的解析式為y=；

當y=-2時，-2=，解得x=6，即B（6，-2）．

將A、B點坐標代入y=ax+b，得

，

解得，

一次函數的解析式為y=-x+1．

考點：反比例函數與一次函數的交點問題．

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，過點C作CE⊥DB交DB的延長線于點E，直線AB與CE相交于點F．

（1）求證：CF為⊙O的切線；

（2）填空：當∠CAB的度數為________時，四邊形ACFD是菱形．

Answer 1

【答案】30°

【解析】（1）連結OC，如圖，由于∠A=∠OCA，則根據三角形外角性質得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據切線的判定定理得CF為⊙O的切線；
（2）根據三角形的內角和得到∠F=30°，根據等腰三角形的性質得到AC=CF，連接AD，根據平行線的性質得到∠DAF=∠F=30°，根據全等三角形的性質得到AD=AC，由菱形的判定定理即可得到結論．

答：

(1)證明：連結OC，如圖，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，

∵∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABD=∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF為⊙O的切線;

(2)當∠CAB的度數為30°時，四邊形ACFD是菱形，理由如下：

∵∠A=30°，

∴∠COF=60°，

∴∠F=30°，

∴∠A=∠F，

∴AC=CF，

連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BD，

∴AD∥CF，

∴∠DAF=∠F=30°，

在△ACB與△ADB中,

，

∴△ACB≌△ADB，

∴AD=AC，

∴AD=CF，

∵AD∥CF，

∴四邊形ACFD是菱形。

故答案為：30°.