Question

11．若整數a能被整數b整除，則一定存在整數n，使得$\frac{a}$=n，即a=bn，例如：若整數a 能被101整除，則一定存在整數n，使得$\frac{a}{101}$=n，即a=101n，一個能被101整除的自然數我們稱為“孿生數”，他的特征是先將數字每兩個分成一組，然后計算奇數組之和與偶數組之和的差，如果差能被101整除，則這個數能被101整除，否則不能整除．當這個數字是奇數位時，需將這個數末位加一個0，變為偶數再來分組．例如：自然數66086421，先分成66，08，64，21．然后計算66+64-（8+21）=101，能被101整除，所以66086421能被101整除；自然數10201先加0，變為102010再分成10，20，10，然后計算10+10-20=0，能被101整除，所以10201能被101整除．
（1）請你證明任意一個四位“孿生數”均滿足上述規律；
（2）若七位整數$\overline{175m6n2}$能被101整除，請求出所有符合要求的七位整數．

Answer 1

分析 （1）先設出四位“孿生數”，則四位數是101的倍數，由等式的性質兩邊同時加上（10a+b）-（10c+d），化簡可得結論；
（2）根據題意先得出m，n的關系得出k的可能值，分情況寫出七位數即可．

解答 解：（1）設$\overline{abcd}$為任意四位“孿生數”，滿足1000a+100b+10c+d=101n（n是整數），
1000a+100b+10c+d+（10a+b）-（10c+d）=101n+（10a+b）-（10c+d），
1010a+101b-101n=（10a+b）-（10c+d），
∴（10a+b）-（10c+d）=$\overline{ab}-\overline{cd}$=101（10a+b-n）（n為整數），
∵10a+b-n是整數，
∴（10a+b）-（10c+d）能被101整除，即$\overline{ab}-\overline{cd}$能被101整除，

（2）由題意（17+60+n）-（50+m+20）=101k，k為整數，
∴7+n-m=101k，
∵0≤m≤9，0≤n≤9且為整數，
∴-2≤7+n-m≤16，
∴k=0，
當k=0時，m-n=7，
∴滿足的整數有：1757602，1758612，1759622．

點評 此題是分解因式的應用和數的整除問題，主要考查了新定義，數的整除，解本題的關鍵是理解新定義，掌握數的整除是解本題的難點．