Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有兩個不等的實數根x1和x2
（1）求m的取值范圍并證明x1x2=m+2；
（2）若|x1﹣x2|=2，求m的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有兩個不等的實數根x1和x2 ，
所以△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0
解得m＜﹣1，
根據求根公式，
∴；
（2）根據根與系數的關系得x1+x2=2，x1x2=m+2，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴4﹣4（m+2）=4，
解得m=﹣2．
【解析】（1）根據判別式的意義得到△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0解得m＜﹣1，再利用求根公式解方程，然后計算x1x2；
（2）先根據根與系數的關系得x1+x2=2，x1x2=m+2，再把|x1﹣x2|=2兩邊平方得到（x1﹣x2）2=4，接著利用完全平方公式變形得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以4﹣4（m+2）=4，
然后解關于m的方程即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根，以及對根與系數的關系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．