Question

【題目】小明和幾位同學做手的影子游戲時，發現對于同一物體，影子的大小與光源到物體的距離有關.因此，他們認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.

（1）如圖①，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，邊長AB為30cm，在其正上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長度和為6cm.那么燈泡離地面的高度為 .

（2）不改變①中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖②擺放，請計算此時橫向影子A′B，D′C的長度和為多少？

（3）有n個邊長為a的正方形按圖③擺放，測得橫向影子A′B，D′C的長度和為b,求燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結果用含a,b,n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）180cm （2）12 cm (3)

【解析】試題分析：（1）設燈泡的位置為點P，易得△PAD∽△PA′D′，設出所求的未知數，利用相似三角形的對應邊的比等于對應高的比，可得燈泡離地面的高度；

（2）同法可得到橫向影子A′B，D′C的長度和；

（3）按照相應的三角形相似，利用相似三角形的對應邊的比等于對應高的比，用字母表示出其他線段，即可得到燈泡離地面的距離．

解：（1）設燈泡離地面的高度為xcm，

∵AD∥A′D′，

∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．

∴△PAD∽△PA′D′．

根據相似三角形對應高的比等于相似比的性質，可得，

∴=，

解得x=180．（4分）

（2）設橫向影子A′B，D′C的長度和為ycm，

同理可得∴=，

解得y=12cm；（3分）

（3）記燈泡為點P，如圖：

∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．

∴△PAD∽△PA′D′．

根據相似三角形對應高的比等于相似比的性質，可得（1分）

（直接得出三角形相似或比例線段均不扣分）

設燈泡離地面距離為x，由題意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，

∴=1﹣

=1﹣

x=（1分）．