Question

如圖1，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3。

（1）求該拋物線的函數關系式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）：
①當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）①點P不在直線ME上；
②依題意可知：P（t，t），N（t，），
當0＜t＜3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是四邊形PNCD，依題意可得：
==，
∵拋物線的開口方向向下，∴當=，且0<t=<3時，
，
當t=3或0時，點P、N都重合，此時以P、N、C、D為頂點的多邊形是三角形，
依題意可得，，
綜上所述，以P、N、C、D為頂點的多邊形面積S存在最大值。